梅钦公式( Machin formula )是一个计算 π 值的公式，至今仍被广泛应用，本文介绍如何使用计算机实现它。


π 的简史

四千年前，巴比伦人用 3+ 1/8 作为圆周率， 同时期的埃及人用 4-(8/9)^2 做圆周率；

三千年前，中国先人用3 作为圆周率；

公元前三世纪，古希腊科学家阿基米德首先采用计算的方法，得出 π 可能是 3.14；

公元五世纪，我国数学家祖冲之把π 算到了 3.1415926 到 3.1415927 之间；

公元 15 世纪， 阿拉伯数学家阿尔·卡西 (Al-Kāshī,1380？– 1429)，用几何的方法，计算到了小数点后 16 位；

1666 年, 牛顿用自己设计的公式把 计算到了小数点后的15位,这个公式的收敛速度非常慢，我猜想他可能花了几个月，甚至几年干这事儿。

1706年，英国人 约翰·梅钦( John Machin) 发明了一个用于计算π 值的公式。

1873 年, William Shanks 使用梅钦公式用了几年时间,计算到了 小数点后的 707 位。

20世纪30年代, 人们( 新西兰的数学家艾特肯(Aitken)教授 )才开始怀疑 Shanks 犯了一个错误。事实上,他在第528位犯了一个错误,所以剩下的180位数是错误的。

1949年，ENIAC（Electronic Numerical Integrator And Computer, 电子数字积分计算机）计算机用了70个小时,计算到了 小数点后的2037位。

近年来，被到了小数点后的1.24万亿位。

简介


虽然印度人拉马努金( Srinivasa Ramanujan ) 整了一堆如何计算π 的公式，还有了BBP ( Bailey- Borwein -Plouffe, DavidBailey/PeterBorwein/ SimonPlouffe)公式， 以及其他若干种类梅钦(Machin-like)公式，但梅钦公式至今仍然是计算π 值的主要公式。

我已建立了百度词条 “梅钦公式”，请自行查看它是什么样的，因为：这里无法发数学公式。

梅钦公式是格里高利/莱布尼茨计算 公式的变体，但是更实用，它的收敛速度显著增加，这使得它成为了更实用的计算π的方法。


实现

多种编程语言可实现使用梅钦公式计算 π 小数点后任意精度的值，这里给出一种 JavaScript 实现：

/**@Author:coolwp.com*@Date:2017-08-2205:40:48*@LastModifiedby:suifengtec*@LastModifiedtime:2017-08-2303:24:11**//*用JavaScript和梅钦公式计算PI。使用nodepi.js*/vargetPi=(function(){functiongetPi(space){this.aX=[];this.cellSize=11;this.tStart=newDate();this.spaceStr=space?space:"";this.aBigInt=Math.pow(10,this.cellSize);}getPi.prototype.getIt=function(length){vardigitsLenAfterDot=Number(length);varcellSize=this.cellSize;varcoeff=Array(10),iAng=Array(10);vararrLen=Math.ceil(1+digitsLenAfterDot/cellSize);varaPI=Array(arrLen);varaArctan=Array(arrLen);coeff[0]=4;coeff[1]=-1;coeff[2]=0;iAng[0]=5;iAng[1]=239;iAng[2]=0;aPI=this.makeArr(arrLen,aPI,0);for(vari=0;coeff[i]!=0;i++){aArctan=this.getArcTan(iAng[i],arrLen,aArctan);aArctan=this.Mul(arrLen,aArctan,Math.abs(coeff[i]));if(coeff[i]>0){aPI=this.Add(arrLen,aPI,aArctan);}else{aPI=this.Sub(arrLen,aPI,aArctan);}}aPI=this.Mul(arrLen,aPI,4);varsPI="3.";vartempPI="";for(vari=0;i<aPI.length;i++){aPI[i]=String(aPI[i]);if(aPI[i].length<cellSize&&i!=0){while(aPI[i].length<cellSize){aPI[i]="0"+aPI[i];}}tempPI+=aPI[i];}for(vari=0;i+1<=digitsLenAfterDot;i++){if(i==0){sPI+=tempPI.charAt(i+1);}else{varnewLineSymbol=this.spaceStr,spForPer5Digits=this.spaceStr;if((i+1)%50==0&&i!=0){sPI+=tempPI.charAt(i+1)+newLineSymbol;}else{if((i+1)%5==0){sPI+=tempPI.charAt(i+1)+spForPer5Digits;}else{sPI+=tempPI.charAt(i+1);}}}}vartShutdown=newDate();vartimeTaken=(tShutdown.getTime()-this.tStart.getTime())/1000;vartimeSp="耗时:"+timeTaken+"秒";returnsPI+"\n"+timeSp;};getPi.prototype.Mul=function(n,aX,iMult){varcarry=0;varprod;for(vari=n-1;i>=0;i--){prod=(aX[i])*iMult;prod+=carry;if(prod>=this.aBigInt){carry=Math.floor(prod/this.aBigInt);prod-=(carry*this.aBigInt);}else{carry=0;}aX[i]=prod;}returnaX;};getPi.prototype.Div=function(n,aX,iDiv,aY){varcarry=0;varcurrVal;vartheDiv;for(vari=0;i<n;i++){currVal=Number(aX[i])+Number(carry*this.aBigInt);theDiv=Math.floor(currVal/iDiv);carry=currVal-theDiv*iDiv;aY[i]=theDiv;}returnaY;};getPi.prototype.Add=function(n,aX,aY){varcarry=0;for(vari=n-1;i>=0;i--){aX[i]+=Number(aY[i])+Number(carry);if(aX[i]<this.aBigInt){carry=0;}else{carry=1;aX[i]=Number(aX[i])-Number(this.aBigInt);}}returnaX;};getPi.prototype.Sub=function(n,aX,aY){for(vari=n-1;i>=0;i--){aX[i]-=aY[i];if(aX[i]<0){if(i>0){aX[i]+=this.aBigInt;aX[i-1]--;}}}returnaX;};getPi.prototype.isEmpty=function(aX){varempty=true;for(vari=0;i<aX.length;i++){if(aX[i]){empty=false;break;}}returnempty;};getPi.prototype.getArcTan=function(iAng,n,aX){variAng_squared=iAng*iAng;vark=3;varsign=0;vararrAngle=[];varaDivK=[];aX=this.makeArr(n,aX,0);arrAngle=this.makeArr(n,arrAngle,1);arrAngle=this.Div(n,arrAngle,iAng,arrAngle);aX=this.Add(n,aX,arrAngle);while(!this.isEmpty(arrAngle)){arrAngle=this.Div(n,arrAngle,iAng_squared,arrAngle);aDivK=this.Div(n,arrAngle,k,aDivK);if(sign){aX=this.Add(n,aX,aDivK);}else{aX=this.Sub(n,aX,aDivK);}k+=2;sign=1-sign;}returnaX;};getPi.prototype.makeArr=function(n1,arr,n2){for(vari=0;i<n1;i++){arr[i]=null;}arr[0]=n2;returnarr;};returngetPi;}());/*tscpi.ts&&nodepi.js验证3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679计算所得(小数点后100位)3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679耗时:0.001秒*/varspaceSymbol="";varapp=newgetPi(spaceSymbol);varpi=app.getIt(100);console.log(pi);

把上述代码保存到文件 pi.js, 即可在 HTML 中引用，或者使用 Node.js 查看:

nodepi.js

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