递归是一种数学上分而自治的思想。 A、将原问题分解为规模较小的问题进行处理 分解后的问题与原问题类型完全相同，当规模较小。 通过小规模问题的解，能够轻易求得原生问题的解 B、问题的分解时有限的 当边界条件不能满足时，分解问题（继续递归） 当边界条件满足时，直接求解（递归结束）2、递归模型

递归模型的一般表示法：

递归在程序设计中的应用 递归函数： 函数体中存在自我调用的函数 递归函数必须有递归出口（边界条件） 函数的无限递归将导致程序崩溃 使用递归函数时不要陷入递归函数的执行细节，应首先建立递归模型和确立边界条件。1、求和的递归实现

int sum(unsigned int n){ int ret; if(n > 1) { ret = n + sum(n - 1); } else if(n == 1) { ret = 1; } return ret;}2、斐波那契数列的实现

unsigned int Fibonacci(unsigned int n){ unsigned int ret ; if(2 < n) { ret = Fibonacci(n -1) + Fibonacci(n -2); } else if((n == 1) || (n == 2)) { ret = 1; } return ret;}3、字符串长度的递归实现

int _strlen_(const char* s){ int ret = 0; if(*s != '\0') { ret = 1 + _strlen_(s+1); } else { ret = 0; } return ret;}

代码简化：

unsigned int _strlen_(const char* s){ return s?((*s)?(1 + _strlen_(s + 1)):0):0;}4、单链表翻转的递归实现

typedef struct{ int data; Node* next;}Node;Node* reverse(Node* list){ Node* ret = NULL; if(list == NULL || list->next == NULL) { ret = list; } else { Node* guard = list->next; ret = reverse(list->next); guard->next = list; list->next = NULL; } return ret;}5、单向排序链表的合并

typedef struct{ int data; Node* next;}Node;Node* merge(Node* list1, Node* list2){ Node* ret = NULL; if(NULL == list1) { ret = list2; } else if(NULL == list2) { ret = list1; } else if(list1->data < list2->data) { list1->next = merge(list1->next,list2); ret = list1; } else { list2->next = merge(list2->next, list1); ret = list2; } return ret;}6、汉诺塔问题求解

汉诺塔问题： A、将木块借助B柱由A柱移动到C柱 B、每次只能移动一块木块 C、小木块只能出现在大木块之上

汉诺塔问题的解决方案：
A、将n-1个木块借助C柱由A柱移动到B柱
B、将最底层的木块直接移动到C柱
C、将n-1个木块借助A柱由B柱移动到C柱

/********************************* * n:木块的数量 * A:A柱 * B：B柱 * C：C柱 * 汉诺塔问题：将n个木块从A柱借助B柱移动到C柱 * ******************************/void HanoiTower(int n, char A, char B, char C){ if(n == 1) { cout << A << "-->" << C << endl; } else { //将A柱上的n-1个木块借助C柱移动到B柱 HanoiTower(n-1, A, C, B); //将A柱上的木块，直接移动到C柱 HanoiTower(1, A, B, C); //将B柱上的n-1个木块借助A柱移动到C柱 HanoiTower(n-1, B, A, C); }}7、全排列问题的递归求解

void permutation(char* s, char* ret){ if('\0' == *s) { cout << ret << endl; } else { int len = strlen(s); for(int i = 0; i < len; i++) { if(0 == i || (s[0] != s[i])) { swap(s[0], s[i]); permutation(s+1, ret); swap(s[0], s[i]); } } }}三、函数调用与递归思想1、函数的调用过程

程序运行后有一个特殊的内存区域（栈）供函数调用使用： A、用于保存函数中的实参、局部变量、临时变量等 B、从起始地址开始往一个方向增长 C、有一个专用指针标识当前已用内存的顶部 程序中的栈区：

逆序打印单链表中的偶数结点：

typedef struct{ int data; Node* next;}Node;void r_print_even(Node* list){ if(NULL !=list) { r_print_even(list->next); if(list->data %2 == 0) { cout << list->data << endl; } }}2、回溯算法

回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

回溯算法的基本思想是：从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试。八皇后问题就是回溯算法的典型，第一步按照顺序放一个皇后，然后第二步符合要求放第2个皇后，如果没有位置符合要求，那么就要改变第一个皇后的位置，重新放第2个皇后的位置，直到找到符合条件的位置就可以了。回溯在迷宫搜索中使用很常见，就是这条路走不通，然后返回前一个路口，继续下一条路。回溯算法说白了就是穷举法。不过回溯算法使用剪枝函数，剪去一些不可能到达最终状态（即答案状态）的节点，从而减少状态空间树节点的生成。回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题。`

在8X8的国际象棋棋盘上，有8个皇后，每个皇后占一个格子，要求皇后之间不会出现相互***的现象（任意两个皇后不能处在同一行、同一列或者同一对角线上）。

棋盘的定义：
二维数组（10X10），0表示位置为空，1表示皇后，2表示边界。
位置的定义：

struct Pos{ int x; int y;};

方向定义： 水平左方向（-1, 0） 水平右方向（1, 0） 垂直上方向（0， 1） 垂直下方向 （0， -1） 左上对角线方向 （-1， 1） 左下对角线方向 （-1， -1） 右下对角线方向 （1， -1） 右上对角线方向 （1， 1）

template <int SIZE>class QueueSolution : public Object{protected: enum{N = SIZE + 2};//棋盘大小 struct Pos : public Object { Pos(int px = 0, int py = 0):x(px),y(py){} int x; int y; bool operator==(const Pos& other) { return (this->x = other.x && this->y == other.y); } }; int m_chessBoard[N][N];//棋盘数据 Pos m_direction[3];//方向数据 LinkedList<Pos> m_solution;//皇后的位置 int m_count;//解决方案的数量 void init() { m_count = 0; //初始化棋盘边界 for(int x = 0; x < N; x += (N-1)) { for(int y = 0; y < N; y++) { m_chessBoard[x][y] = 2;//垂直边界 m_chessBoard[y][x] = 2;//水平边界 } } //初始化棋盘 for(int x = 1; x <= SIZE; x++) { for(int y = 1; y <= SIZE; y++) { m_chessBoard[x][y] = 0; } } //左下角对角线方向 m_direction[0] = Pos(-1, -1); //垂直向下方向 m_direction[1] = Pos(0, -1); //右下角对角线方向 m_direction[2] = Pos(1, -1); } //打印棋盘 void printBoard() { for(m_solution.move(0); !m_solution.end(); m_solution.next()) { cout << "(" << m_solution.current().x << "," << m_solution.current().y<< ") "; } cout << endl; for(int x = 0; x < N; x++) { for(int y = 0; y < N; y++) { switch (m_chessBoard[x][y]) { case 0: cout << " "; break; case 1: cout << "Q"; break; case 2: cout << "#"; break; } } cout << endl; } } bool check(int x, int y, int direction) { bool flag = true; do { x += m_direction[direction].x; y += m_direction[direction].y; flag = flag && (m_chessBoard[x][y] == 0); }while(flag); return (m_chessBoard[x][y] == 2); } void run(int y) { if(y < SIZE) { for(int x = 1; x < SIZE; x++) { if(check(x,y,0) && check(x,y,1)&&check(x,y,2)) { m_chessBoard[x][y] = 1; m_solution.insert(Pos(x, y)); run(y+1); m_chessBoard[x][y] = 0; m_solution.remove(m_solution.length() - 1); } } } else { m_count++; printBoard(); } }public: QueueSolution() { init(); } void run() { run(1); cout << "Total:" << m_count << endl; }};