九宫格（Lo Shu Square）问题

将1到9的数字按照一定方式填入九宫格内。使得每一列、每一行以及两条对角线上的值都相等。

全排列（递归）

首先，用枚举法，生成各种(3, 3)的二维数组：

def perm(li): """递归实现列表的全排列 如果输入是[1]，那么返回[[li],]表示有一种排列 如果输入是[1, 2]，期望的返回的是[[1, 2], [2, 1]]，这是要之后的递归实现的 """ if len(li) <= 1: return [li] ret = [] for i in range(len(li)): s1 = li[i:i + 1] # 取出一个元素，组成一个列表 rest = li[:i] + li[i + 1:] # 剩余的元素组成一个列表 p = perm(rest) for j in p: # 迭代每一种排列 ret.append(s1 + j) # 和之前取出的1个元素进行拼接 return ret

简单验证一下：

>>> perm([1, 2, 3])[[1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1]]

递归算法比较费时，如果是9个数字的全排列，要1秒左右。如果数组更大比如(4, 4)就几乎跑不完了：

995 ms ± 12.8 ms per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1 loop each)检查函数

各种求和，然后进行检查：

def is_lo_shu_square(arr): """接收numpy的二维数组""" if np.shape(arr)[0] != np.shape(arr)[1]: return False d = np.shape(arr)[0] n = np.sum(arr) / d for i in np.sum(arr, axis=0): if i != n: return False for i in np.sum(arr, axis=1): if i != n: return False if np.sum(np.eye(d, dtype=int) * arr) != n: # 检查对角线 return False if np.sum(np.eye(d, dtype=int)[::-1] * arr) != n: # 检查次对角线 return False return True

简单验证一下：

>>> np.array(([1, 1], [1, 1]))array([[1, 1], [1, 1]])>>> a = np.array(([1, 1], [1, 1]))>>> is_lo_shu_squar(a)True计算结果

>>> li = [i+1 for i in range(9)]>>> for i in perm(li): a = np.array(i).reshape(3, 3) if is_lo_shu_square(a): print(a)[[2 7 6] [9 5 1] [4 3 8]][[2 9 4] [7 5 3] [6 1 8]][[4 3 8] [9 5 1] [2 7 6]][[4 9 2] [3 5 7] [8 1 6]][[6 1 8] [7 5 3] [2 9 4]][[6 7 2] [1 5 9] [8 3 4]][[8 1 6] [3 5 7] [4 9 2]][[8 3 4] [1 5 9] [6 7 2]]全排列（非递归）

标准库itertools里提供了排列的函数，算法比较复杂j就不研究了，顺便还有组合的函数：

import itertools>>> list(itertools.permutations([1, 2, 3], 3))[(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)]>>> list(itertools.combinations([1, 2, 3], 2))[(1, 2), (1, 3), (2, 3)]

计算还是一样的：

>>> li = [i+1 for i in range(9)]>>> for i in itertools.permutations(li, 9): a = np.array(i).reshape(3, 3) if is_lo_shu_square(a): print(a)[[2 7 6] [9 5 1] [4 3 8]][[2 9 4] [7 5 3] [6 1 8]][[4 3 8] [9 5 1] [2 7 6]][[4 9 2] [3 5 7] [8 1 6]][[6 1 8] [7 5 3] [2 9 4]][[6 7 2] [1 5 9] [8 3 4]][[8 1 6] [3 5 7] [4 9 2]][[8 3 4] [1 5 9] [6 7 2]]

整个计算过程的执行时间大致是从8秒提高到了6秒。时间上没有本质的区别，并且如果要去计算更大的列表的全排列，比如16个元素的，两种算法都是执行不完的。
不过非递归算法节省内存，整个过程中内存的分配不会有大的变化。而递归算法对内存的开销是巨大的。

16宫格

上面的算法虽然也支持计算16宫格，但是算法复杂度太高，至少我的电脑上运行不出结果来。第一步16个元素的全排列就计算不完，2亿亿次（16! = 20,922,789,888,000）。
很明显有些情况计算之后就能排除很多类似的情况。

数字分组（行的和相等）

先把16个数，分成4组，每组的和都相等，这就是将来每行的数字的集合：

def square_list(d): """选项4组数组，每组数组组成一行，并且和相等 返回所有行的和都符合的二维元祖 """ nums = [i + 1 for i in range(d * d)] sum_line = sum(nums) // d # lines = itertools.combinations(nums, d) # 4阶共有1820个 lines = (i for i in itertools.combinations(nums, d) if sum(i) == sum_line) # 筛选后4阶共有86个 for square in itertools.combinations(lines, d): s = set() for line in square: for n in line: s.add(n) if len(s) == d*d: yield square # 4阶共有392个

这步能筛选出392种组合等待续操作。

调整每行的元素排列（列的行相等）

把上面的每种组合用下面的方法再做一次遍历。每行的数字互相调整位置，使得每列的和也相等：

def square_list2(square, sum_line=None, skip=0, squares=None): """调整每行数字的排列，找到能使每列数字之和也相等的二维元祖 返回的是所有列的和也都符合的二维元祖， 这步之后4阶能筛选出22896个 :param square: :param sum_line: 第一次递归的时候计算出来 :param skip: 第一次调整第0列，之后递增 :return: """ column_count = len(square[0]) if skip >= column_count: # 递归的退出条件 if squares is None: squares = [] squares.append(square) return squares row_count = len(square) if sum_line is None: sum_line = sum(square[0]) # 遍历所有的情况，交换元素直到一列的和等于sum_line， # 然后递归调用处理后面的列，直到处理完所有的列 for li in index_list(row_count, column_count-skip): sq = [list(i) for i in square] sum_list = [] for i in range(row_count): sum_list.append(sq[i][li[i]+skip]) if sum(sum_list) == sum_line: for j in range(row_count): sq[j][0+skip], sq[j][li[j]+skip] = sq[j][li[j]+skip], sq[j][0+skip] sq_tpl = tuple((tuple(i) for i in sq)) squares = square_list2(sq_tpl, sum_line, skip + 1, squares) return squaresdef index_list(lenth, notation): """返回一个下标的列表 被square_list2调用，遍历每一行取一个值的所有情况 """ counter = 0 while True: n = counter li = [] for i in range(lenth): n, index = divmod(n, notation) li.append(index) if n == 0: yield li[::-1] counter += 1 else: break

这里用了递归。另外遍历下标的index_list函数用了取模取余的方式，做的是类似10进制转4进制，然后每一位就是一个下标，最后把列表反转之后返回了。
最后一个筛选出22896个数组，每个都是行和列的和都相等的。

调整行之间的排序（斜线相等）

这步不做计算了，只是遍历。一个4行调整行之间的排列，一共是24种排列，也就是之前的基础上的24倍的量，还是可以接受的。这里就是4个元素的全排列了：

def square_list3(square): """调整行与行之间的排列顺序， 4阶的全排列是24种情况，所以会再多24倍数的情况要遍历 每行以及每列的和都相等了，这样调整会影响到斜线计算的结果""" return itertools.permutations(square, 4)验证函数

之前已经把可能符合条件的数组筛选到五十多万个了，这里只要再写一个函数做最终的验证就能把结果筛选出来了。这里要验证行的和、列的和、斜线的和。斜线的和不只是对角线，每个方向4条斜线一共8条斜线。另外再验证4个角和中心4块的和，不过这2步不影响结果，行和列是之前的筛选条件，也不影响结果，只是验证结果正确。只要是通过斜线的计算把不符合的再筛掉一批：

def is_lo_shu_square4(arr): """接收numpy的二维数组""" if np.shape(arr)[0] != np.shape(arr)[1]: return False d = np.shape(arr)[0] n = np.sum(arr) / d for i in np.sum(arr, axis=0): if i != n: return False for i in np.sum(arr, axis=1): if i != n: return False # 检查所有的斜线，包括对角线 for i in range(d): if np.sum((np.eye(d, k=i, dtype=int) + np.eye(d, k=i-d, dtype=int)) * arr) != n: return False if np.sum((np.eye(d, k=i, dtype=int)[::-1] + np.eye(d, k=i-d, dtype=int)[::-1]) * arr) != n: return False # 到此能找到384个 # 检查4个角的4个数的和也要符合要求，不影响结果 if np.sum(arr[:2, :2]) != n: return False if np.sum(arr[:2, -2:]) != n: return False if np.sum(arr[-2:, :2]) != n: return False if np.sum(arr[-2:, -2:]) != n: return False # 在检查最中间的4个格子的和，不影响结果 if np.sum(arr[1:3, 1:3]) != n: return False return True48个完美解

所有符合要求的数组一共384个，这里只输出(0, 0)和(1, 1)的位置上是1的48个数组：

def main(): count = 0 for square in square_list(4): # 有可能返回空，因为不是每一种组合都一定能得到竖排和相等的矩阵 squares2 = square_list2(square) if squares2: for square2 in squares2: for square3 in square_list3(square2): a = np.array(square3) if is_lo_shu_square4(a): if a[0][0] == 1 or a[1][1] == 1: count += 1 print(a) print(count)

下面贴上所有的48个数组，其他的数组只是这个基础上的转置和双奇双偶变换（把数组横向或纵向位移2个单位）的结果：

[[ 1 14 4 15] [ 8 11 5 10] [13 2 16 3] [12 7 9 6]][[ 1 14 4 15] [12 7 9 6] [13 2 16 3] [ 8 11 5 10]][[ 1 15 4 14] [ 8 10 5 11] [13 3 16 2] [12 6 9 7]][[ 1 15 4 14] [12 6 9 7] [13 3 16 2] [ 8 10 5 11]][[11 8 10 5] [14 1 15 4] [ 7 12 6 9] [ 2 13 3 16]][[ 7 12 6 9] [14 1 15 4] [11 8 10 5] [ 2 13 3 16]][[10 8 11 5] [15 1 14 4] [ 6 12 7 9] [ 3 13 2 16]][[ 6 12 7 9] [15 1 14 4] [10 8 11 5] [ 3 13 2 16]][[ 1 12 6 15] [ 8 13 3 10] [11 2 16 5] [14 7 9 4]][[ 1 12 6 15] [14 7 9 4] [11 2 16 5] [ 8 13 3 10]][[ 1 15 6 12] [ 8 10 3 13] [11 5 16 2] [14 4 9 7]][[ 1 15 6 12] [14 4 9 7] [11 5 16 2] [ 8 10 3 13]][[13 8 10 3] [12 1 15 6] [ 7 14 4 9] [ 2 11 5 16]][[ 7 14 4 9] [12 1 15 6] [13 8 10 3] [ 2 11 5 16]][[10 8 13 3] [15 1 12 6] [ 4 14 7 9] [ 5 11 2 16]][[ 4 14 7 9] [15 1 12 6] [10 8 13 3] [ 5 11 2 16]][[ 1 12 7 14] [ 8 13 2 11] [10 3 16 5] [15 6 9 4]][[ 1 12 7 14] [15 6 9 4] [10 3 16 5] [ 8 13 2 11]][[ 1 14 7 12] [ 8 11 2 13] [10 5 16 3] [15 4 9 6]][[ 1 14 7 12] [15 4 9 6] [10 5 16 3] [ 8 11 2 13]][[13 8 11 2] [12 1 14 7] [ 6 15 4 9] [ 3 10 5 16]][[ 6 15 4 9] [12 1 14 7] [13 8 11 2] [ 3 10 5 16]][[11 8 13 2] [14 1 12 7] [ 4 15 6 9] [ 5 10 3 16]][[ 4 15 6 9] [14 1 12 7] [11 8 13 2] [ 5 10 3 16]][[ 1 8 10 15] [12 13 3 6] [ 7 2 16 9] [14 11 5 4]][[ 1 8 10 15] [14 11 5 4] [ 7 2 16 9] [12 13 3 6]][[ 1 15 10 8] [12 6 3 13] [ 7 9 16 2] [14 4 5 11]][[ 1 15 10 8] [14 4 5 11] [ 7 9 16 2] [12 6 3 13]][[13 12 6 3] [ 8 1 15 10] [11 14 4 5] [ 2 7 9 16]][[11 14 4 5] [ 8 1 15 10] [13 12 6 3] [ 2 7 9 16]][[ 6 12 13 3] [15 1 8 10] [ 4 14 11 5] [ 9 7 2 16]][[ 4 14 11 5] [15 1 8 10] [ 6 12 13 3] [ 9 7 2 16]][[ 1 8 11 14] [12 13 2 7] [ 6 3 16 9] [15 10 5 4]][[ 1 8 11 14] [15 10 5 4] [ 6 3 16 9] [12 13 2 7]][[ 1 14 11 8] [12 7 2 13] [ 6 9 16 3] [15 4 5 10]][[ 1 14 11 8] [15 4 5 10] [ 6 9 16 3] [12 7 2 13]][[13 12 7 2] [ 8 1 14 11] [10 15 4 5] [ 3 6 9 16]][[10 15 4 5] [ 8 1 14 11] [13 12 7 2] [ 3 6 9 16]][[ 7 12 13 2] [14 1 8 11] [ 4 15 10 5] [ 9 6 3 16]][[ 4 15 10 5] [14 1 8 11] [ 7 12 13 2] [ 9 6 3 16]][[ 1 8 13 12] [14 11 2 7] [ 4 5 16 9] [15 10 3 6]][[ 1 8 13 12] [15 10 3 6] [ 4 5 16 9] [14 11 2 7]][[ 1 12 13 8] [14 7 2 11] [ 4 9 16 5] [15 6 3 10]][[ 1 12 13 8] [15 6 3 10] [ 4 9 16 5] [14 7 2 11]][[11 14 7 2] [ 8 1 12 13] [10 15 6 3] [ 5 4 9 16]][[10 15 6 3] [ 8 1 12 13] [11 14 7 2] [ 5 4 9 16]][[ 7 14 11 2] [12 1 8 13] [ 6 15 10 3] [ 9 4 5 16]][[ 6 15 10 3] [12 1 8 13] [ 7 14 11 2] [ 9 4 5 16]]

16宫格的完美解：
将16个自然数1至16填入16宫格中，是4横、4竖、8斜的4数之和相等，且等于组成14个正方形的4个顶点的数之和（这个没验证）。共48个解。
完美解的16宫格模型如下：

当年奥数教的16宫格还不是这里的完美解：

小结

用到了很多零碎的知识：

排列、组合递归（比较搞脑筋）取模、取余（用着不难，关键是要想到用这个方法来遍历所有下标的情况来解决问题）列表的反转（这个算是小技巧）次对角线全1的矩阵（做一次反转即可）二维数组转90度（还是列表反转的技巧，反转加转置后就是，这里没用到）线性代数（只是简单的用乘法算一下对角线上的数字之和）16宫格的48个完美解（当年老师奥数只教了1种）